The line of intersection of two planes using vectors (Part 2)

There’s a clean, fully vector-based formula for a point on the intersection line, with no elimination at all.

---

Setup

Two planes:

Let:

• n₁, n₂ = normal vectors
• d = n₁ × n₂ = direction of the line

---

Key idea

The point ( r₀ ) lies:

• in both planes
• perpendicular to the direction ( d )

So we construct it directly using cross products.

---

Formula for the point

---

Why this works (intuition)

• ( n₂×d ) lies in plane 2 and points toward satisfying plane 1
• ( d×n₁ ) lies in plane 1 and points toward satisfying plane 2
• The combination balances both constraints exactly
• Dividing by |d|² normalizes the result

---

Example

Planes:

	x + y + z = 1,  x - y + z = 3

Step 1: normals

	n1 = (1, 1, 1),
	n2 = (1, -1, 1)
    
( d1 = 1, d2 = 3 )

Step 2: direction

	d = n1 × n2 = (2, 0, -2)

Step 3: compute pieces

	n2 × d = (1, -1, 1) × (2, 0, -2) = (2, 4, 2)

	d × n1 = (2, 0, -2) × (1, 1, 1) = (2, -4, 2)

Step 4: plug into formula

	r0 = (1, -1, 1)

---

Final line

Direction: (1, 0, -1)

	r(t) = (1, -1, 1) + t (1, 0, -1)

---

Takeaway

• No solving equations
• No choosing variables
• Pure vector operations: cross products + scaling

---

The line of intersection of two planes using vectors (Part 1)

To find the line of intersection of two planes using vectors, you combine two key ideas:

1. The direction of the line comes from the cross product of the planes’ normals
2. A point on the line is found by solving the two plane equations together

---

Step 1: Write the planes

Suppose the planes are:

Their normal vectors are:

---

Step 2: Direction of the intersection line

The direction vector d is perpendicular to both normals:

If this cross product is zero → planes are parallel (no intersection or infinite overlap).

---

Step 3: Find a point on the line

To get a specific point:

• Solve the two plane equations simultaneously
• Usually set one variable (like (z = 0)) and solve for (x, y)

---

Step 4: Write the vector equation of the line

Once you have:

• A point   
• Direction   

The line is:

---

Example

Find the intersection of:

    x + y + z = 1
    x - y + z = 3

1. Normals

2. Direction

(Simplify → (1,0,-1))

---

3. Find a point

Set (z = 0):

    x + y = 1
    x - y = 3

Add:

Then:

	y = -1

So point = (2, -1, 0)

---

4. Final line

---

Final takeaway

• Cross product → gives direction
• Solve equations → gives point
• Combine → gives line

---

Vector's direction cosines and spherical earth model (Part 2)

In a spherical Earth model, the direction cosines of a position vector are essentially the components of the unit vector that points to a specific latitude (φ) and longitude (λ). [1]

The Coordinate Mapping

To relate these, we use an Earth-Centered, Earth-Fixed (ECEF) Cartesian system where:

• x-axis: Points toward the Prime Meridian (0° longitude) at the Equator.
• y-axis: Points toward 90° East longitude at the Equator.
• z-axis: Points toward the North Pole (90° North latitude). [2, 3]

Conversion Formulas

If a point on Earth has latitude φ and longitude λ, its direction cosines (l, m, n) are calculated as:

1. Component along the x-axis

   

2. Component along the y-axis

   

3. Component along the z-axis

   

   [1, 4, 5]

Key Differences from Standard Physics

It is important to note that "standard" spherical coordinates (ρ, θ, φ) used in math/physics differ from geographic coordinates: [1]

• Latitude (φ): Measured from the Equator (up/down). In standard spherical math, the "polar angle" is measured from the North Pole (downward).
• Relationship: The polar angle θ in math is equal to (90° - φ) in geography. This is why the z-component uses sin φ for latitude instead of the usual cos θ. [1, 5, 6]

Inverse Relationship

If you already have the direction cosines

, you can find the geographic coordinates using:

• Latitude:

  

• Longitude:

  

  [4, 7]

This vector-based approach is often called the n-vector representation and is used in navigation software because it avoids "singularities" (mathematical glitches) at the North and South Poles. [8]

[1] https://moodle2.units.it [2] https://vulms.vu.edu.pk [3] https://math.univ-lyon1.fr [4] https://via-technology.aero [5] https://www.youtube.com [6] https://en.wikipedia.org [7] https://www.movable-type.co.uk [8] https://en.wikipedia.org

Vector's direction cosines and spherical earth model (Part 1)

Direction cosines are the cosines of the angles that a vector makes with the positive x, y, and z axes. For a vector

in three-dimensional space, the direction cosines (often denoted as l, m, and n) are calculated by dividing each component of the vector by its magnitude. [1, 2, 3, 4]

Finding the Direction Cosines of a Vector | Formula ... Understand Unit Vectors and Direction Cosines of Vectors ...

Formulas and Calculations

The direction cosines relate to the direction angles α (with the x-axis), β (with the y-axis), and γ (with the z-axis) as follows: [5, 6, 7]

1. Calculate Magnitude: First, find the length of the vector:

   

2. Determine Cosines:







[8, 9, 10]

Essential Properties

• Unit Vector: The direction cosines of a vector are exactly the components of its corresponding unit vector.
• Fundamental Identity: The sum of the squares of the direction cosines always equals one:

  

• Direction Ratios: Any set of numbers proportional to the direction cosines are called direction ratios (often a, b, c). [2, 11, 12, 13, 14, 15]

Calculation Example

To find the direction cosines for the vector

[16]

1. Magnitude:

   

2. Direction Cosines:



[17, 18]

References

[1] https://en.wikipedia.org [2] https://allen.in [3] https://prepp.in [4] https://www.youtube.com [5] https://www.youtube.com [6] https://byjus.com [7] https://raw.org [8] https://math.libretexts.org [9] https://www.cuemath.com [10] https://www.vaia.com [11] https://byjus.com [12] https://brilliant.org [13] https://www.jove.com [14] https://www.youtube.com [15] https://allen.in [16] https://www.cuemath.com [17] https://askfilo.com [18] https://brainly.in

ใช้ node-red แสดงผลที่เรียกค้นจากฐานข้อมูล SQLite

(ต่อจาก blog ก่อนหน้านี้)

การใช้ SQLite สำหรับเก็บและจัดการข้อมูล GeoJSON (Part 3)

กรณี 2 เก็บข้อมูลเป็นรูปแบบที่คล้าย GeoJSON มากที่สุด แล้วใช้ฟังก์ชันพิเศษช่วยแปลงเป็น GeoJSON

ขอตั้งเป้าหมายว่าต้องการเก็บข้อมูลของ point feature ตามนี้
- ตัวอย่าง geojson: {"type":"Feature","properties":{"id":1001,"title":"apple","value":1.2},
  "geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.71,13.82]}}
- ไม่เก็บข้อมูลซ้ำซ้อน เช่น id, title, value มีอยู่ภายใน geojson ของpoint feature แล้ว ต้องไม่มีที่อื่นอีก

สร้าง table ชื่อ jsonpoint ดังนี้
- มี 2 column
  - feat_ID เหมือนแบบแรก (INTEGER UNIQUE)
  - geojson เป็นชนิด json (เก็บจริงเป็น text string)

sqlite> CREATE TABLE jsonpoint (feat_ID INTEGER UNIQUE, geojson json);

ตรวจดูผลลัพธ์ (มองหา jsonpoint พบว่าอยู่ที่บรรทัด 3)
sqlite> .schema
CREATE TABLE sqlite_sequence(name,seq);
CREATE TABLE jpoint (feat_ID INTEGER UNIQUE, title TEXT, value REAL, lon REAL, lat REAL);
CREATE TABLE jsonpoint (feat_ID INTEGER UNIQUE, geojson json);

ป้อนข้อมูล
sqlite> insert into jsonpoint values(1001,json('{"type":"Feature","properties":{"id":1001,"title":"apple","value":1.2},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.71,13.82]}}'));
sqlite> insert into jsonpoint values(1002,json('{"type":"Feature","properties":{"id":1002,"title":"banana","value":2.3},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.72,13.83]}}'));
sqlite> insert into jsonpoint values(1003,json('{"type":"Feature","properties":{"id":1003,"title":"carrot","value":3.4},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.73,13.84]}}'));

เรียกค้นดูข้อมูลที่ป้อน
sqlite> select * from jsonpoint;
1001|{"type":"Feature","properties":{"id":1001,"title":"apple","value":1.2},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.71,13.82]}}
1002|{"type":"Feature","properties":{"id":1002,"title":"banana","value":2.3},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.72,13.83]}}
1003|{"type":"Feature","properties":{"id":1003,"title":"carrot","value":3.4},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.73,13.84]}}

สถานการณ์
- โครงสร้างข้อมูลง่าย มีเพียง 2 คอลัมน์
- ค่า attributes ซ่อนอยู่ในคอลัมน์ 2 ใช้สืบค้นแบบปกติไม่ได้
  ใช้แบบนี้ไม่ได้: select * from jsonpoint where title='apple';
- คอลัมน์ 2 มีข้อมูลที่เป็น geojson แบบสมบูรณ์ที่ต้องการ

ล้วงลึกข้อมูลในคอลัมน์ geojson โดยใช้ตัวช่วย (ฟังก์ชันจัดการ JSON)
- เรียกดูเฉพาะ title (เส้นทางเข้าถึง: properties.title)

sqlite> SELECT json_extract(geojson, '$.properties.title') from jsonpoint;
apple
banana
carrot

- เรียกดูเฉพาะ value (เส้นทางเข้าถึง: properties.value)
sqlite> SELECT json_extract(geojson, '$.properties.value') from jsonpoint;
1.2
2.3
3.4

- เรียกดูเฉพาะ geojson (เส้นทางเข้าถึง: properties.title='banana')
sqlite> SELECT geojson from jsonpoint where json_extract(geojson, '$.properties.title') = 'banana';
{"type":"Feature","properties":{"id":1002,"title":"banana","value":2.3},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.72,13.83]}}

สรุป
- ฟังก์ชันจัดการ JSON ที่ใช้
  - json() ใช้กลั่นกรองตอนป้อนข้อมูลไม่ให้ผิดพลาด
  - json_extract() ใช้ล้วงลึกข้อมูลภายใน JSON ออกมาใช้งาน
- ฟังก์ชันจัดการ JSON ทำให้เราสามารถใช้ sqlite จัดการกับข้อมูล geojson ได้ไม่ยากนัก

การใช้ SQLite สำหรับเก็บและจัดการข้อมูล GeoJSON (Part 2)

กรณี 1 เก็บข้อมูลแบบปกติทั่วไป (text, number, ...) แล้วใช้คำสั่งเรียกมาประกอบกันเป็น GeoJSON เมื่อต้องการ

เราจะใช้ sqlite3 ทำงานแบบโต้ตอบเพื่อสาธิตการทำงาน
หมายเหตุ
 jsDb    เป็น database file 
 ~#      คือ system prompt
 sqlite> คือ sqlite3 prompt

ใช้คำสั่ง sqlite3 jsDb เริ่มต้นใช้งาน sqlite3 กับ database file ชื่อ jsDb
(กรณีนี้เพิ่งเริ่มงาน ยังไม่มี jsDb อยู่ก่อน จึงถูกสร้างขึ้นใหม่)

~# sqlite3 jsDb
SQLite version 3.51.2 2026-01-09 17:27:48
Enter ".help" for usage hints.

ใช้คำสั่ง CREATE TABLE สร้างตาราง (table) ชื่อ jpoint สำหรับข้อมูลจำเป็นของ geoJSON ประเภท point
sqlite> CREATE TABLE jpoint (feat_ID INTEGER UNIQUE, title TEXT, value REAL, lon REAL, lat REAL);

ใช้คำสั่ง .schema ขอดูโครงสร้างข้อมูลของตารางที่สร้างไว้
sqlite> .schema
CREATE TABLE sqlite_sequence(name,seq);
CREATE TABLE jpoint (feat_ID INTEGER UNIQUE, title TEXT, value REAL, lon REAL, lat REAL);

ใช้คำสั่ง INSERT INTO ป้อนข้อมูล
sqlite> INSERT INTO jpoint values(1001, "apple", 1.2, 100.71 , 13.82);
sqlite> INSERT INTO jpoint values(1002, "banana", 2.3, 100.72 , 13.83);
sqlite> INSERT INTO jpoint values(1003, "carrot", 3.4, 100.73 , 13.84);

ใช้คำสั่ง SELECT สืบค้นข้อมูลทั้งหมด แสดงผลแบบ list
sqlite> SELECT * from jpoint;
1001|apple|1.2|100.71|13.82
1002|banana|2.3|100.72|13.83
1003|carrot|3.4|100.73|13.84

เปลี่ยนรูปแบบการแสดงผลเป็น "table" (ปกติเป็น list)
sqlite> .mode table
sqlite> select * from jpoint;
+---------+--------+-------+--------+-------+
| feat_ID | title  | value |  lon   |  lat  |
+---------+--------+-------+--------+-------+
| 1001    | apple  | 1.2   | 100.71 | 13.82 |
| 1002    | banana | 2.3   | 100.72 | 13.83 |
| 1003    | carrot | 3.4   | 100.73 | 13.84 |
+---------+--------+-------+--------+-------+

สั่งสืบค้นข้อมูลตามเงื่อนไข WHERE แบบพื้นฐาน เลือกระเบียนข้อมูลด้วยเงื่อนไข title='banana'

sqlite> .mode list
sqlite> select * from jpoint where title = 'banana';

ผลที่ได้
1002|banana|2.3|100.72|13.83

สั่งสืบค้นข้อมูลตามเงื่อนไข WHERE โดยให้ผลออกมาเป็น geoJSON ชนิด point
- มีการใช้ฟังก์ชัน json_object() และ json_array() ช่วย
- ผลที่ได้จะเป็น text string ที่สามารถนำไป parse เป็น JSON object ได้

sqlite> SELECT json_object('type','Feature','properties',json_object('id',feat_ID,'title',title,'value',value),
'geometry',json_object('type','Point','coordinates',json_array(lon,lat))) FROM jpoint WHERE title = 'banana';

ผลที่ได้
{"type":"Feature","properties":{"id":1002,"title":"banana","value":2.3},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.72,13.83]}}

ข้อสังเกต
- มีการใช้ฟังก์ชัน json เฉพาะตอนเรียกค้นข้อมูลเมื่อต้องการผลลัพธ์รูปแบบ geoJSON เท่านั้น: json_object(), json_array()
- ตัวอย่างที่แสดงเหมาะกับ point feature เพราะส่วนของ geometry เป็นข้อมูลพื้นฐาน (lon, lat)
- สำหรับ linestring หรือ polygon เป็นกรณีท้าทาย เพราะข้อมูลพิกัดตำแหน่งเป็นแบบเชิงซ้อน และอาจมีขนาดใหญ่

การใช้ฟังก์ชัน json_group_array() เพื่อเก็บ point feature ทั้งหมดมารวมกันเป็น FeatureCollection สามารถทำได้โดยสั่งประมวลผลแบบ batch processing
คำสั่งที่ใช้ค่อนข้างยาว ควรรวมกันเป็นบรรทัดเดียวก่อนใช้งาน  ถ้าใช้บ่อยให้เก็บไว้ในไฟล์ เช่น "featCollOutput.sql" และสั่งใช้งานดังนี้: .read featCollOutput.sql 
หรือ sqlite3 jsDb ".read featCollOutput.sql"

~# sqlite3 jsDb "SELECT json_object('type', 'FeatureCollection','features', json_group_array(json_object('type', 
 'Feature','properties', json_object('id', feat_ID, 'title', title, 'value', value),'geometry', json_object('type', 'Point',
 'coordinates', json_array(lon, lat))))) FROM jpoint;"
 
ผลลัพธ์
{"type":"FeatureCollection","features":[
  {"type":"Feature","properties":{"id":1001,"title":"apple","value":1.2},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.71,13.82]}},
  {"type":"Feature","properties":{"id":1002,"title":"banana","value":2.3},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.72,13.83]}},
  {"type":"Feature","properties":{"id":1003,"title":"carrot","value":3.4},"geometry":{"type":"Point","coordinates":[100.73,13.84]}}]}

ถ้าต้องการเก็บผลลัพธ์เป็นแฟ้มข้อมูล สามารถเปลี่ยนการแสดงผลให้ส่งออกไปยังแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ทำได้โดยเพิ่มรหัสข้างล่างที่ท้ายคำสั่งเดิม
  > path_to_file.json
  
ถ้าเป็นการ append ข้อมูลเข้าไปในแฟ้มข้อมูลเดิม ให้ใช้ >> แทน >